随伴関手、表現可能関手、極限という三つの異なる普遍性の現れを学び、最後にこれらの関係を解明する。圏論の要点を速習できる。

圏論が多分野に普及して30年を経た現在，誰もが読める圏論の本が必要だ――本書はこのモチベーションで執筆された。予備知識がほとんどない読者のために，例として半順序集合と半群がゼロから説明され，最後までそれらを用いて話が展開されている。これらのほかにも例が豊富に取り上げられている。なお，予備知識がほとんど必要ないとはいえ，数学的な厳密性は損なわれていない。すべての重要な命題と定理には完全な証明が付されている。本書は情報科学や論理学など，さまざまな分野へ役立てられるであろう。 第１章　圏 1.1　序論 1.2　集合の写像 1.3　圏の定義 1.4　圏の例 1.5　同型 1.6　圏の構成 1.7　自由圏 1.8　基本：ラージ，スモール，局所スモール 1.9　練習問題 第２章　抽象構造 2.1　エピとモノ 2.2　始対象と終対象 2.3　一般化された要素 2.4　積 2.5　積の例 2.6　積をもつ圏 2.7　射集合 2.8　練習問題 第３章　双対性 3.1　双対性原理 3.2　余積 3.3　等化子 3.4　余等化子 3.5　練習問題 第４章　群と圏 4.1　圏における群 4.2　群の圏 4.3　圏としての群 4.4　有限表現圏 4.5　練習問題 第５章　極限と余極限 5.1　部分対象 5.2　引き戻し 5.3　引き戻しの性質 5.4　極限 5.5　極限の保存 5.6　余極限 5.7　練習問題 第６章　冪 6.1　圏における冪 6.2　デカルト閉圏 6.3　ハイティング代数 6.4　命題計算 6.5　デカルト閉圏の等式的定義 6.6　λ算法 6.7　変数集合 6.8　練習問題 第７章　自然性 7.1　圏のなす圏 7.2　表現可能構造 7.3　ストーン双対 7.4　自然性 7.5　自然変換の例 7.6　圏の冪 7.7　関手圏 7.8　モノイダル圏 7.9　圏の同値 7.10　同値の例 7.11　練習問題 第８章　図式の圏 8.1　集合値関手の圏 8.2　米田の埋め込み 8.3　米田の補題 8.4　米田の補題の応用 8.5　図式の圏の極限 8.6　図式の圏における余極限 8.7　図式の圏の冪 8.8　トポス 8.9　練習問題 第９章　随伴 9.1　準備的定義 9.2　射集合の定義 9.3　随伴の例 9.4　順序随伴 9.5　随伴としての量化子 9.6　右随伴は極限を保存する(RAPL) 9.7　局所デカルト閉圏 9.8　随伴関手の定理 9.9　練習問題 第10章　モナドと代数 10.1　三角恒等式 10.2　モナドと随伴 10.3　モナドに対する代数 10.4　コモナドと余代数 10.5　自己関手に対する代数 10.6　練習問題 練習問題の解答 参考文献 索引

圏論は最近人気がある数学の分野の１つで、その考え方はプログラミング、人工知能、物理など幅広い分野に応用されています。本書はそんな圏論を一から知りたい人に、圏論とは何かをわかりやすく解説していきます。異なるものをどうやってつなげて矢印を引き、同じようなものとして見立てていくか、その過程をじっくり味わってみてください。自ずと、圏論とはそういうことだったのか、とお分かりいただけるはずです。 第1章　道案内の前に 第2章　圏 ①圏の定義1：対象と射、域と余域 ②圏の定義2：合成 ③圏の定義3：結合律 ④圏の定義4：恒等射 ⑤圏の定義：完全版 ⑥圏の例1：前順序、半順序、全順序 ⑦圏の例2：モノイドと群 ⑧圏の例3：集合圏 ⑨圏の例4：モノイドの圏 第3章　関手 ①関手の定義 ②関手の例1：順序を保つ写像、反変関手・双対圏 ③関手の例2：hom 関手 ④関手の例3：モノイド準同型(1) ⑤関手の例4：モノイド準同型(2) ⑥関手の例5：モノイド準同型(3) ⑦関手の例6：線型表現(1) ⑧関手の例7：線型表現(2) 発展　⑨関手の例8：ホモロジー、ブラウワーの不動点定理 第4章　自然変換 ①自然変換の定義1 ②自然変換の定義2 ③自然変換の例1：前順序集合に関する例 ④自然変換の例2：hom 関手間の自然変換 ⑤自然変換の例3：米田の補題 ⑥自然変換の例4：単位系の変換 発展　⑦自然変換の例5：絡作用素、ユニタリ同値、フーリエ変換 第3章・第4章のまとめ 第5章　普遍性 ①終対象と始対象 ②積と余積 ③積関手 ④線型代数の土壌 ⑤極限と余極限の例 ⑥射圏、そして一般射圏 ⑦極限、余極限の定義 第6章　冪：プログラムの本質 ①冪 ②CCC 第7章　圏論的集合論 ①トポス（topos） ②圏論的集合論 第8章　随伴 ①積と冪との間の関係 ②随伴 第9章　モナド ①随伴からモナドへ ②モナドの定義 ③モナドから随伴へ ④計算効果とモナドとHaskell 第10章　道案内の後に 参考文献 索引 著者プロフィール

科学の様々な分野で横断的に使えるモデル化言語としての圏論への入門書。予備知識は仮定せず３００題超の演習・解答で学べる。 科学分野で横断的に使うことのできる精密かつ柔軟かつ一貫性のあるモデル化言語としての圏論への入門書 圏論は1940年代に数学の異なる領域をまとめて統一的に扱うために考案された。そして，数学の中の異質な分野間での強力な情報交換を可能にすることにおいて目覚ましい成功を収めている。本書は，科学全般にわたる精密かつ柔軟かつ一貫性のある言語として圏論が数学以外でも役立つことを示す。情報は本質的に変化を伴い，一つのアイディアも数え切れないやり方で体系化され再構成されうる。そしてそのように構成された構造どうしを翻訳する能力は，さまざまな科学においてますます重要になってきている。圏論は情報をモデル化するための統一した枠組みを提供し，それは専門分野間での知識の移転を円滑に進める。 本書は，読みやすく素直なスタイルで書かれていて，数学の前提知識をあまり必要としないので，厳密であるものの数学者でなくても取り組みやすい。また，定理と証明に重点を置くのではなく，例題と演習によって圏論を説明している。本書には300題以上の解答つき演習が含まれている。 圏論への入り口としてデータベースを用い，集合と関数から始めて，数学の基礎となる概念であるモノイド，群，順序，グラフを導入する。これらはすべて見かけを変えただけの圏である。圏論の「三大」概念である圏，関手，自然変換を説明したあとは，極限，余極限，関手圏，層，モナド，オペラッドなどさまざまな話題を扱う。 本書は，数学者が使うさまざまな数学的概念と，計算機科学，神経科学，物理学のような専門分野におけるモデルや枠組みの間の橋渡しとなることを目指している。 [原著：Category Theory for the Sciences, The MIT Press, 2014] 第1章　はじめに 1.1　圏論の簡単な歴史 1.2　本書の狙い 1.3　学生に求めること 1.4　圏論の参考文献 第2章　集合の圏 2.1　集合と関数 2.2　可換図式 2.3　オントロジーログ 第3章　Setに関する基本的考察 3.1　積と余積 3.2　Setの有限極限 3.3　Setの有限余極限 3.4　Setのそのほかの概念 第4章　背後に潜む圏と関手 4.1　モノイド 4.2　群 4.3　グラフ 4.4　順序 4.5　データベース：スキーマとインスタンス 第5章　圏論の基本 5.1　圏と関手 5.2　純粋数学で一般的な圏と関手 5.3　自然変換 5.4　圏とスキーマの同値性 第6章　圏に関する基本的考察 6.1　極限と余極限 6.2　Catのそのほかの概念 第7章　活躍する圏 7.1　随伴関手 7.2　関手の圏 7.3　モナド 7.4　オペラッド 参考文献 訳者あとがき 索引

数学のみならず、物理学や計算機科学等、周辺分野との共通言語として注目が集まる「圏論」。その基礎と応用事例を紹介する。 数学のみならず、物理学や計算機科学等、周辺分野との共通言語として注目が集まる「圏論」。その基礎と応用事例を紹介する。 数学のみならず、物理学や計算機科学等、周辺分野との共通言語として注目が集まる「圏論」。その基礎と応用事例を紹介する。 第1章　[座談会] 圏論と異分野協働──今出川不純集会 第2章　圏の定義──矢印でいろいろ書いてみる ◎蓮尾一郎 第3章　タングルの圏 ◎鈴木咲衣＋葉廣和夫 第4章　プログラム意味論と圏論──計算の「不変量」を圏論で捉える ◎長谷川真人 第5章　モナドと計算効果 ◎勝股審也 第6章　モナドのクライスリ圏──圏論による一般化とは？ ◎蓮尾一郎 第7章　表現を〈表現〉する話──ミクロ・マクロ双対性(1) ◎小嶋 泉＋西郷甲矢人 第8章　[座談会] 歩き方の使い方──今出川不純集会，ふたたび 第9章　ガロア理論と物理学──ミクロ・マクロ双対性(2) ◎小嶋 泉＋西郷甲矢人 第10章　圏論的双対性の「論理」──圏論における抽象と捨象，あるいは不条理 ◎丸山善宏 第11章　圏論的論理学：トポス理論を越えて ◎丸山善宏 第12章　すべての人に矢印を──圏論と教育をめぐる冒険 ◎西郷甲矢人 第13章　ホモロジー代数からアーベル圏，三角圏へ ◎阿部弘樹＋中岡宏行 第14章　表現論と圏論化 ◎土岡俊介 第15章　圏論と生物のネットワーク ◎春名太一 第16章　[座談会] 「数学本流」にはなりたくない──今出川不純集会，三たび 第17章　圏論のつまづき方

いま幅広い分野で注目される圏論の入門書。圏の定義から導来圏までの基本事項を、一貫して初学者を意識しながら懇切に解説する。 数学諸分野で基本的な道具・言語として用いられる 圏論・ホモロジー代数，待望の現代的入門書。 関手，普遍性，双対性をはじめとする基本的な概念から， 森田の定理など重要な結果，導来圏の基礎までを， 徹底してやさしく解説します。 いま幅広い分野で注目される圏論の入門書。圏の定義から導来圏までの基本事項を、一貫して初学者を意識しながら懇切に解説する。 第1章　圏論の基本事項 1.1　圏と関手 1.2　普遍性 1.3　双対概念 1.4　圏の構成 1.5　圏の定義再論 第2章　関手と圏同値 2.1　自然変換 2.2　圏の同値性 2.3　普遍性と（余）極限 2.4　圏の局所化 第3章　加法圏 3.1　プレ加法圏 3.2　加法圏と加法関手 3.3　核と余核 3.4　複体とホモトピー 3.5　付録：モノイダル圏と豊穣圏 第4章　アーベル圏 4.1　アーベル圏 4.2　短完全列と完全関手 4.3　複体のコホモロジー 4.4　加群のなす圏 4.5　帰納極限・射影極限の完全性 第5章　完全圏と安定圏 5.1　完全圏 5.2　安定圏 第6章　三角圏 6.1　三角圏 6.2　三角圏上の関手 6.3　代数的三角圏 第7章　導来圏と導来関手 7.1　導来圏 7.2　導来関手 7.3　環の導来同値 参考文献 記号索引 事項索引